(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến kẻ từ $A$ và $B$ vuông góc. Chứng minh rằng:
a) $a^2+b^2=5c^2$
b) $\cot C=2(\cot A+\cot B)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC,CA$; gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Khi đó $AG=\frac{2}{3}AM,BG=\frac{2}{3}BN$. Từ đó, theo định lí Pythagore ta có
$c^2=AB^2=AG^2+BG^2=\frac{4}{9}(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4})+\frac{4}{9}(\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4})=\frac{4}{9}(c^2+\frac{a^2+b^2}{4})$.
Suy ra $5c^2=a^2+b^2$
b) Do $a^2+b^2=5c^2$ nên $\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{c^2}{S}$. Mà
$2(\cot A+\cot B)=2(\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{c^2+a^2-b^2}{4S})=\frac{c^2}{S}$.
Suy ra $\cot C=2(\cot A+\cot B)$.
