Bài tự luận · Bài 45
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
Bài tự luận Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 45
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
a) $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b) $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.
a) $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b) $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Từ định lí côsin và công thức tính diện tích của tam giác, suy ra
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
Tương tự cũng có $\cot B=\frac{c^2+a^2-b^2}{4S},\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$.
Từ đó $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b) HD. Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến.
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
Tương tự cũng có $\cot B=\frac{c^2+a^2-b^2}{4S},\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$.
Từ đó $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b) HD. Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến.