Bài tự luận · Bài 38
Dạng 2. Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 38
(KNTT12) Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;5;-3)$ và $N(3;5;-1)$.
a) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ là tam giác cân nhưng không là tam giác đều.
b) Tính các góc của tam giác $OMN$.
a) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ là tam giác cân nhưng không là tam giác đều.
b) Tính các góc của tam giác $OMN$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $OM=\sqrt{1^2+5^2+(-3)^2}=\sqrt{35};ON=\sqrt{3^2+5^2+(-1)^2}=\sqrt{35}$.
Do đó $OM=ON$, suy ra tam giác $OMN$ cân tại $O$.
Ta có $MN=\sqrt{(3-1)^2+(5-5)^2+(-1-(-3))^2}=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}$.
Vì $MN\neq OM$ nên tam giác $OMN$ không là tam giác đều.
b) Ta có: $\overrightarrow{OM}=(1;5;-3)$ và $\overrightarrow{ON}=(3;5;-1)$.
Do đó $\cos\widehat{MON}=\cos(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})=\dfrac{1\cdot3+5\cdot5+(-3)\cdot(-1)}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{35}}=\dfrac{31}{35}$, suy ra $\widehat{MON}\approx27,66^{\circ}$
Vì tam giác $OMN$ cân tại $O$ nên $\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\approx\dfrac{180^{\circ}-27,66^{\circ}}{2}=76,17^{\circ}$.
Do đó $OM=ON$, suy ra tam giác $OMN$ cân tại $O$.
Ta có $MN=\sqrt{(3-1)^2+(5-5)^2+(-1-(-3))^2}=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}$.
Vì $MN\neq OM$ nên tam giác $OMN$ không là tam giác đều.
b) Ta có: $\overrightarrow{OM}=(1;5;-3)$ và $\overrightarrow{ON}=(3;5;-1)$.
Do đó $\cos\widehat{MON}=\cos(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})=\dfrac{1\cdot3+5\cdot5+(-3)\cdot(-1)}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{35}}=\dfrac{31}{35}$, suy ra $\widehat{MON}\approx27,66^{\circ}$
Vì tam giác $OMN$ cân tại $O$ nên $\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\approx\dfrac{180^{\circ}-27,66^{\circ}}{2}=76,17^{\circ}$.