Bài tự luận · Bài 37
Dạng 2. Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 37
(CD12) Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(-2;3;0),B(4;0;5)$, $C(0;2;-3)$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $ABC$.
c) Tính số đo góc $BAC$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $ABC$.
c) Tính số đo góc $BAC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(6;-3;5),\overrightarrow{AC}=(2;-1;-3),k\overrightarrow{AC}=(2k;-k;-3k)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\neq k\overrightarrow{AC}$ với mọi $k\in\mathbb{R}$. Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Ta có:
$AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{70}\\AC=\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}\\BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2+(-3-5)^2}=2\sqrt{21}.$
Do đó, chu vi tam giác $ABC$ là: $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.
c) Trong tam giác $ABC$, ta có:
$\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AC}\|}=\dfrac{6\cdot2+(-3)\cdot(-1)+5\cdot(-3)}{\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}}=0$
Vậy số đo của $\widehat{BAC}=90^{\circ}$.
b) Ta có:
$AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{70}\\AC=\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}\\BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2+(-3-5)^2}=2\sqrt{21}.$
Do đó, chu vi tam giác $ABC$ là: $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.
c) Trong tam giác $ABC$, ta có:
$\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AC}\|}=\dfrac{6\cdot2+(-3)\cdot(-1)+5\cdot(-3)}{\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}}=0$
Vậy số đo của $\widehat{BAC}=90^{\circ}$.