Bài tập nâng cao · Bài 39
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 39
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-2)$. Đường cao $CH:x-y+1=0$, đường phân giác trong $BN:2x+y+5=0$. Viết phương trình cạnh $BC$.
Xem lời giải
Lời giải
$AB\perp CH\Rightarrow$ phương trình $AB$ có dạng $x+y+m=0$.
$A(1;-2)\in AB\Rightarrow1-2+m=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow AB:x+y+1=0$.
$B=AB\cap BN\Rightarrow$ tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x+y+1=0\\2x+y+5=0\end{cases}\Rightarrow B(-4;3)$.
Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $BN$, suy ra $A'\in BC$.
Đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BN$ có dạng $x-2y+c=0$.
$A(1;-2)\in(d)\Rightarrow1+4+c=0\Leftrightarrow c=-5\Rightarrow(d):x-2y-5=0$.
Gọi $M=(d)\cap BN$. Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2x+y+5=0\\x-2y-5=0\end{cases}\Rightarrow M(-1;-3)$.
$M$ là trung điểm $AA'\Rightarrow A'(-3;-4)$.
Đường thẳng $BC$ có VTCP là $\overrightarrow{A'B}=(-1;7)\Rightarrow$ VTPT là $\vec n=(7;1)$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ là $7(x+4)+(y-3)=0\Leftrightarrow7x+y+25=0$.
$A(1;-2)\in AB\Rightarrow1-2+m=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow AB:x+y+1=0$.
$B=AB\cap BN\Rightarrow$ tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x+y+1=0\\2x+y+5=0\end{cases}\Rightarrow B(-4;3)$.
Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $BN$, suy ra $A'\in BC$.
Đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BN$ có dạng $x-2y+c=0$.
$A(1;-2)\in(d)\Rightarrow1+4+c=0\Leftrightarrow c=-5\Rightarrow(d):x-2y-5=0$.
Gọi $M=(d)\cap BN$. Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2x+y+5=0\\x-2y-5=0\end{cases}\Rightarrow M(-1;-3)$.
$M$ là trung điểm $AA'\Rightarrow A'(-3;-4)$.
Đường thẳng $BC$ có VTCP là $\overrightarrow{A'B}=(-1;7)\Rightarrow$ VTPT là $\vec n=(7;1)$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ là $7(x+4)+(y-3)=0\Leftrightarrow7x+y+25=0$.