Bài tập nâng cao · Bài 38
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 38
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x+y-3=0$ và đường thẳng $\Delta:4x+2y-1=0$. Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng $d$ và $\Delta$ nằm trên đường thẳng $l$ có phương trình $ax+by+1=0$ với $a,b\in\mathbb R$. Tính $a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M(x;y)\in l$.
Theo đề $d(M,d)=d(M,\Delta)\Leftrightarrow\frac{|2x+y-3|}{\sqrt5}=\frac{|4x+2y-1|}{2\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2(2x+y-3)=4x+2y-1\\2(2x+y-3)=-(4x+2y-1)\end{array}\right.\Leftrightarrow8x+4y-7=0$.
Hay $l:-\frac87x-\frac47y+1=0$. Suy ra $a=-\frac87$, $b=-\frac47$.
Vậy $a+b=-\frac{12}{7}$.
Cách 2:
$d\parallel\Delta$ nên tập hợp tất cả các điểm cách đều $d$ và $\Delta$ là đường thẳng $l$ có dạng $2x+y+c=0$.
Lấy $M(1;1)\in d$ và $N\left(0;\frac12\right)\in\Delta$. Suy ra $l$ đi qua trung điểm $I\left(\frac12;\frac34\right)$ của $MN$.
Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình của $l$ ta được $c=-\frac74$.
Do đó $l:2x+y-\frac74=0\Leftrightarrow-\frac87x-\frac47y+1=0$. Suy ra $a=-\frac87$, $b=-\frac47$.
Vậy $a+b=-\frac{12}{7}$.
Theo đề $d(M,d)=d(M,\Delta)\Leftrightarrow\frac{|2x+y-3|}{\sqrt5}=\frac{|4x+2y-1|}{2\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2(2x+y-3)=4x+2y-1\\2(2x+y-3)=-(4x+2y-1)\end{array}\right.\Leftrightarrow8x+4y-7=0$.
Hay $l:-\frac87x-\frac47y+1=0$. Suy ra $a=-\frac87$, $b=-\frac47$.
Vậy $a+b=-\frac{12}{7}$.
Cách 2:
$d\parallel\Delta$ nên tập hợp tất cả các điểm cách đều $d$ và $\Delta$ là đường thẳng $l$ có dạng $2x+y+c=0$.
Lấy $M(1;1)\in d$ và $N\left(0;\frac12\right)\in\Delta$. Suy ra $l$ đi qua trung điểm $I\left(\frac12;\frac34\right)$ của $MN$.
Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình của $l$ ta được $c=-\frac74$.
Do đó $l:2x+y-\frac74=0\Leftrightarrow-\frac87x-\frac47y+1=0$. Suy ra $a=-\frac87$, $b=-\frac47$.
Vậy $a+b=-\frac{12}{7}$.