Bài tự luận · Bài 15
Dạng 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp: Cách 1: Xét hiệu: $H=u_{n+1}-u_n$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $H>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $H<0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm. Cách 2: Nếu $u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì ta xét thương: $T=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $T>1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $T<1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
Bài tự luận Dãy số · Bài 15
(CD11) Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số $\left( u_n \right)$, biết:
a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$
b) $u_n=\frac{3^{n}}{2^{n}\cdot n!}$
c) $u_n=(-1)^{n}\cdot \left( 2^{n}+1 \right)$.
a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$
b) $u_n=\frac{3^{n}}{2^{n}\cdot n!}$
c) $u_n=(-1)^{n}\cdot \left( 2^{n}+1 \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $u_n=\frac{n-3}{n+2}=\frac{(n+2)-5}{n+2}=1-\frac{5}{n+2}$.
Xét $u_{n+1}-u_n=\left( 1-\frac{5}{n+3} \right)-\left( 1-\frac{5}{n+2} \right)=\frac{5}{n+2}-\frac{5}{n+3}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Do đó, $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
b) Nhận xét: $u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}:\frac{3^{n}}{2^{n}n!}=\frac{3}{2(n+1)}\leq \frac{3}{4}<1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Do đó, $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
c) Ta có: $u_1=-3;u_2=5;u_3=-9;\ldots$. Do đó, $u_1<u_2;u_2>u_3$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.
Xét $u_{n+1}-u_n=\left( 1-\frac{5}{n+3} \right)-\left( 1-\frac{5}{n+2} \right)=\frac{5}{n+2}-\frac{5}{n+3}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Do đó, $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
b) Nhận xét: $u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}:\frac{3^{n}}{2^{n}n!}=\frac{3}{2(n+1)}\leq \frac{3}{4}<1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Do đó, $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
c) Ta có: $u_1=-3;u_2=5;u_3=-9;\ldots$. Do đó, $u_1<u_2;u_2>u_3$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.