Bài tự luận · Bài 14
Dạng 1. Xác định các số hạng của dãy số
Bài tự luận Dãy số · Bài 14
(KNTT11) Cho dãy số $\left( u_n \right)$ xác định bằng hệ thức truy hồi
$u_1=1,u_{n+1}=u_n+(n+1).$
a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.
b) Biết rằng $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
c) Chứng minh rằng $u_{n+1}+u_n=(n+1)^{2}$, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
$u_1=1,u_{n+1}=u_n+(n+1).$
a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.
b) Biết rằng $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
c) Chứng minh rằng $u_{n+1}+u_n=(n+1)^{2}$, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
Xem lời giải
Lời giải
a) Bảy số tam giác đầu là
$u_1=1\quad u_2=3\quad u_3=6\quad u_4=10\quad u_5=15\quad u_6=21\quad u_7=28.$
Ta nhận thấy $u_2=1+2,u_3=1+2+3,u_4=1+2+3+4,\ldots$
b) Ta có: $u_{n+1}=1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
c) Theo công thức ở câu b) ta có:
$u_{n+1}+u_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2+n)}{2}=(n+1)^{2}.$
Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
$u_1=1\quad u_2=3\quad u_3=6\quad u_4=10\quad u_5=15\quad u_6=21\quad u_7=28.$
Ta nhận thấy $u_2=1+2,u_3=1+2+3,u_4=1+2+3+4,\ldots$
b) Ta có: $u_{n+1}=1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
c) Theo công thức ở câu b) ta có:
$u_{n+1}+u_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2+n)}{2}=(n+1)^{2}.$
Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.