(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, biết $SO\perp(ABCD)$, $AC=2a\sqrt3, BD=2a$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{a\sqrt3}{2}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Question

Dạng 1. Tính thể tích (KNTT11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, biết $SO\perp(ABCD)$, $AC=2a\sqrt3, BD=2a$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{a\sqrt3}{2}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/B. TU LUAN/image248.png] Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$, $OH$ vuông góc với $SM$ tại $H$, ta chứng minh được $OH\perp(SBC)$. Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $d(A,(SBC))=2\cdot d(O,(SBC))=2\cdot OH=\frac{a\sqrt3}{2}$, suy ra $OH=\frac{a\sqrt3}{4}$. Tam giác $OBC$ vuông tại $O$, có $OB=a, OC=a\sqrt3$ và đường cao $OM$ nên $OM=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{a\sqrt3}{2}$. Tam giác $SOM$ vuông tại $O$, đường cao $OH$ nên $\frac1{OH^2}=\frac1{OM^2}+\frac1{OS^2}$, suy ra $SO=\frac a2$. Vậy $V_{S.ABCD}=\frac13\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot\frac12\cdot2a\sqrt3\cdot2a\cdot\frac a2=\frac{a^3\sqrt3}{3}$.

Bài tự luận Thể tích · Bài 13