(KNTT11) Cho tứ diện $OABC$ có $OA=OB=OC=a$ và $\widehat{AOB}=90^\circ; \widehat{BOC}=60^\circ$; $\widehat{COA}=120^\circ$. Tính theo $a$ thể tích khối tứ diện $OABC$.

Question

Dạng 1. Tính thể tích (KNTT11) Cho tứ diện $OABC$ có $OA=OB=OC=a$ và $\widehat{AOB}=90^\circ; \widehat{BOC}=60^\circ$; $\widehat{COA}=120^\circ$. Tính theo $a$ thể tích khối tứ diện $OABC$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/B. TU LUAN/image223.png] Ta có: $AB=a\sqrt2, BC=a, CA=a\sqrt3$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Kẻ $OH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $H$. Vì $OA=OB=OC$ nên $HA=HB=HC$, hay $H$ là trung điểm của $AC$. Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore ta tính được: $OH=\frac a2$. Do đó $V_{OABC}=\frac13\cdot S_{ABC}\cdot OH=\frac13\cdot\frac12\cdot a\sqrt2\cdot a\cdot\frac a2=\frac{a^3\sqrt2}{12}$.

Bài tự luận Thể tích · Bài 12