Bài tự luận · Bài 27
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 27
Số cuộc điện thoại gọi đến một trung tâm cứu hộ trong khoảng thời gian từ 12 giờ đến 13 giờ là một biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ có bảng phân bố xác suất như sau:
$ X $ 0 1 2 3 4 5
$ P $ 0,25 0,2 0,15 0,15 0,13 0,12
a) Tính xác suất để xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.
b) Tính xác suất để xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.
c) Tính $ E(X),V(X) $ và $ σ(X) $.
$ X $ 0 1 2 3 4 5
$ P $ 0,25 0,2 0,15 0,15 0,13 0,12
a) Tính xác suất để xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.
b) Tính xác suất để xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.
c) Tính $ E(X),V(X) $ và $ σ(X) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ E $ là biến cố: "Xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi". Biến cố đối $ \bar E $ là: "Xảy ra nhiểu nhất 1 cuộc gọi" là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=0\} $ và $ \{X=1\} $. Theo quy tắc cộng xác suất: $ P( \bar E)=P(X=0)+P(X=1)=0,25+0,2=0,45 $.
Vậy $ P(E)=1-P( \bar E)=1-0,45=0,55 $.
b) Gọi $ F $ là biến cố: "Xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi". $ F $ là hợp của hai biến cố xung khắc: G: "Không xảy ra hoặc xảy ra 1 cuộc gọi" và $ H $: "Xảy ra 2 hoặc 3 cuộc gọi".
Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(F)=P(G)+P(H) $.
Biến cố $ G $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=0\} $ và $ \{X=1\} $. Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(G)=P(X=0)+P(X=1)=0,25+0,2=0,45 $.
Biến cố $ H $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=2\} $ và $ \{X=3\} $. Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(H)=P(X=2)+P(X=3)=0,15+0,15=0,3 $.
Vậy $ P(F)=P(G)+P(H)=0,45+0,3=0,75 $.
$ { \rm{ } }{ \rm{ c } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }E(X)=0\cdot 0,25+1\cdot 0,2+2\cdot 0,15+3\cdot 0,15+4\cdot 0,13+5\cdot 0,12=2,07 \\ V(X)=0\cdot 0,25+1\cdot 0,2+4\cdot 0,15+9\cdot 0,15+16\cdot 0,13+25\cdot 0,12-2,07 ^ { 2 } =2,9451 \\ σ(X)\approx 1,7161 $
Vậy $ P(E)=1-P( \bar E)=1-0,45=0,55 $.
b) Gọi $ F $ là biến cố: "Xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi". $ F $ là hợp của hai biến cố xung khắc: G: "Không xảy ra hoặc xảy ra 1 cuộc gọi" và $ H $: "Xảy ra 2 hoặc 3 cuộc gọi".
Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(F)=P(G)+P(H) $.
Biến cố $ G $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=0\} $ và $ \{X=1\} $. Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(G)=P(X=0)+P(X=1)=0,25+0,2=0,45 $.
Biến cố $ H $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=2\} $ và $ \{X=3\} $. Theo quy tắc cộng xác suất: $ P(H)=P(X=2)+P(X=3)=0,15+0,15=0,3 $.
Vậy $ P(F)=P(G)+P(H)=0,45+0,3=0,75 $.
$ { \rm{ } }{ \rm{ c } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }E(X)=0\cdot 0,25+1\cdot 0,2+2\cdot 0,15+3\cdot 0,15+4\cdot 0,13+5\cdot 0,12=2,07 \\ V(X)=0\cdot 0,25+1\cdot 0,2+4\cdot 0,15+9\cdot 0,15+16\cdot 0,13+25\cdot 0,12-2,07 ^ { 2 } =2,9451 \\ σ(X)\approx 1,7161 $