Bài tự luận · Bài 20
Dạng 3. Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng
Bài tự luận Cấp số cộng · Bài 20
(CTST11) Cho cấp số cộng $\left( u_n \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l} u_5+3u_3-u_2=-21 \\ 3u_7-2u_4=-34 \end{array} \right.$
a) Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng $\left( u_n \right)$.
b) Tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( u_n \right)$.
c) Tính $S=u_4+u_5+\ldots+u_{30}$.
a) Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng $\left( u_n \right)$.
b) Tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( u_n \right)$.
c) Tính $S=u_4+u_5+\ldots+u_{30}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Từ giả thiết của bài toán, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} u_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)=-21 \\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+3d=-7 \\ u_1+12d=-34 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ d=-3. \end{array} \right.$ Số hạng thứ 100 của cấp số cộng $\left( u_n \right)$ là: $u_{100}=u_1+99d=2+99\cdot (-3)=-295$.
b) Tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( u_n \right)$ là:
$S_{15}=\frac{15\left( 2u_1+14d \right)}{2}=-285$
c) Ta có: $S=u_4+u_5+\ldots+u_{30}=\frac{27\left( 2u_4+26d \right)}{2}=27\left( u_1+16d \right)$
$=27[2+16\cdot (-3)]=-1242.$ Chú ý: Với Bài 4c, ta có thể thực hiện theo cách sau:
$S=S_{30}-S_3=15\left( 2u_1+29d \right)-\frac{3}{2}\left( 2u_1+2d \right)=-1242.$
$\left\{ \begin{array}{l} u_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)=-21 \\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+3d=-7 \\ u_1+12d=-34 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ d=-3. \end{array} \right.$ Số hạng thứ 100 của cấp số cộng $\left( u_n \right)$ là: $u_{100}=u_1+99d=2+99\cdot (-3)=-295$.
b) Tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( u_n \right)$ là:
$S_{15}=\frac{15\left( 2u_1+14d \right)}{2}=-285$
c) Ta có: $S=u_4+u_5+\ldots+u_{30}=\frac{27\left( 2u_4+26d \right)}{2}=27\left( u_1+16d \right)$
$=27[2+16\cdot (-3)]=-1242.$ Chú ý: Với Bài 4c, ta có thể thực hiện theo cách sau:
$S=S_{30}-S_3=15\left( 2u_1+29d \right)-\frac{3}{2}\left( 2u_1+2d \right)=-1242.$