Bài tự luận · Bài 19
Dạng 3. Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng
Bài tự luận Cấp số cộng · Bài 19
(CD11) Cho dãy số $\left( u_n \right)$ biết $u_1=-2,u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$.
a) Chứng minh rằng dãy số $\left( v_n \right)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của $v_n,u_n$ tính theo $n$.
c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\ldots+\frac{1}{u_{20}}$.
a) Chứng minh rằng dãy số $\left( v_n \right)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của $v_n,u_n$ tính theo $n$.
c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\ldots+\frac{1}{u_{20}}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $v_n=1+\frac{1}{u_n},v_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}$.
Khi đó, $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_n}-\left( 1+\frac{1}{u_n} \right)=-1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( v_n \right)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $v_1=\frac{1}{2}$, công sai $d=-1$.
b) $v_n=\frac{3}{2}-n,u_n=\frac{2}{1-2n}$.
c)
$\begin{array}{ll} S & =\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\ldots+\frac{1}{u_{20}}=\left( v_1-1 \right)+\left( v_2-1 \right)+\left( v_3-1 \right)+\ldots+\left( v_{20}-1 \right) \\ & =v_1+v_2+v_3+\ldots+v_{20}-20=-200. \end{array}$
Khi đó, $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_n}-\left( 1+\frac{1}{u_n} \right)=-1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $\left( v_n \right)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $v_1=\frac{1}{2}$, công sai $d=-1$.
b) $v_n=\frac{3}{2}-n,u_n=\frac{2}{1-2n}$.
c)
$\begin{array}{ll} S & =\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\ldots+\frac{1}{u_{20}}=\left( v_1-1 \right)+\left( v_2-1 \right)+\left( v_3-1 \right)+\ldots+\left( v_{20}-1 \right) \\ & =v_1+v_2+v_3+\ldots+v_{20}-20=-200. \end{array}$