Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 10

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$, ta có:
$AB=\cos\widehat{BAC}\cdot AC=\cos60^\circ\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};$
$BC=\sin\widehat{BAC}\cdot AC=\sin60^\circ\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SA\perp(ABC) \\ SB\cap(ABC)=B. \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$.
Do đó $(SB,(ABC))=(SB,AB)$.
Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan\widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{SBA}=45^\circ$
Vậy $(SB,(ABC))=\widehat{SBA}=45^\circ$.
b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SA\perp(ABC) \\ SC\cap(ABC)=C \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$.
Do đó $(SC,(ABC))=(SC,AC)$.
Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SCA}\approx 26,6^\circ.$
Vậy $(SC,(ABC))=\widehat{SCA}\approx 26,6^\circ.$
c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC\perp AB \\ BC\perp SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\perp(SAB)$.(1)
$SC\cap(SAB)=S$.(2)
Từ (1) và $(2)\Rightarrow SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$.
Do đó $(SC,(SAB))=(SC,SB)$.
$SB=\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}+\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}}=a.$
Trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$, ta có:
$\tan\widehat{BSC}=\frac{BC}{SB}=\frac{a\sqrt{6}}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \widehat{BSC}\approx 50,8^\circ.$
Vậy $(SC,(SAB))=\widehat{BSC}\approx 50,8^\circ$.