Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 11

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SA\perp(ABCD) \\ SB\cap(ABCD)=B \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$.
Do đó $(SB,(ABCD))=(SB,AB)$.
Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan\widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^\circ$.
Vậy $(SB,(ABCD))=\widehat{SBA}=60^\circ$.
b) Tương tự câu a) ta xác định được $(SC,(ABCD))=(SC,AC)$.
Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có: $\tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{SCA}\approx 50,8^\circ$.
Vậy $(SC;(ABCD))=\widehat{SCA}\approx 50,8^\circ$.
c) Tương tự câu a) ta xác định được $(SD,(ABCD))=(SD,AD)$.
Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có: $\tan\widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60^\circ$.
Vậy $(SD,(ABCD))=\widehat{SDA}=60^\circ$.
d) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BD\perp AC \\ BD\perp SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\perp(SAC)$ hay $BO\perp(SAC)$.(1)
Mà $SB\cap(SAC)=S$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $SO$ là hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$.
Do đó:$(SB,(SAC))=(SB,SO)$.
Trong tam giác $SBO$ vuông tại $O$, ta có $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2},SB=2a$.
$\Rightarrow \sin\widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \widehat{BSO}\approx 20,7^\circ$.
Vậy $(SB,(SAC))=\widehat{BSO}\approx 20,7^\circ$.