Bài tự luận · Bài 12
Dạng 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Đưa bài toán về xác định góc giũa hai đường thẳng, cu thể là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 12
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết rằng mặt bên $(SAB)$ là tam giác vuông cân tại $S$. Xác định và tính góc giữa:
a) $SA$ và $(ABC)$;
b) $SC$ và $(SAB)$.
a) $SA$ và $(ABC)$;
b) $SC$ và $(SAB)$.
Xem lời giải
Lời giải
a)Vì $AI$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$.
Do đó $(SA,(ABC))=(SA,AI)$.
Vì tam giác $SAI$ vuông cân tại $I\Rightarrow \widehat{SAI}=45^\circ$.
Vậy $(SA,(ABC))=(SA,AI)=\widehat{SAI}=45^\circ$.
b) Ta có tam giác $ABC$ đều nên $CI\perp AB,CI=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} CI\perp AB \\ CI\perp SI(\text{do } SI\perp(ABC)) \\ \end{array} \right.\Rightarrow CI\perp(SAB)$.(1)
Mà $SC\cap(SAB)=S$.(2)
Từ (1) và $(2)\Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$.
Do đó $(SC,(SAB))=(SC,SI)$.
Trong tam giác $SAB$ vuông tại $S,SI=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$.
Trong tam giác $SCI$ vuông tại $I$, ta có tan $\widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CSI}=60^\circ$
Vậy $(SC,(SAB))=\widehat{CSI}=60^\circ$.