Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 9

a) Ta có: $SO\perp AC$; $SO\perp BD$ nên $SO\perp(ABCD)$.
b) Vì $AO\perp(SBD)$ nên $SO$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $(SBD)$, do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SO$. Mà $(SA,SO)=\widehat{ASO}$ nên góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng góc $ASO$. Xét tam giác $SAC$ có $SA^{2}+SC^{2}=AC^{2}$ và $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$, suy ra $\widehat{ASO}=45^\circ$. Vậy góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng $45^\circ$.
c) Kẻ $OK\perp BC$ tại $K,OH\perp SK$ tại $H$ thì ta chứng minh được $OH\perp(SBC)$, suy ra $HM$ là hình chiếu vuông góc của $OM$ trên mặt phẳng $(SBC)$, do đó góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $MH$, mà $(OM,MH)=\widehat{OMH}$ nên góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng góc $OMH$ hay $\widehat{OMH}=\alpha$.
Ta có: $OM=\frac{a}{2},OK=\frac{a}{2},SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác SOK vuông tại $O$, đường cao $OH$ nên $OH=\frac{SO\cdot OK}{SK}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
Vì tam giác $OMH$ vuông tại $H$ nên $\sin\alpha=\sin\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.