Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc
Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 3
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Kẻ $AH\perp SB(H\in SB)$. Chứng minh rằng:
a) $SA$ vuông góc với các cạnh đáy;
b) $BC\perp (SAB)$;
c) $BI\perp (SAC)$, từ đó suy ra $BI\perp SC$;
d) $AH\perp (SBC)$, từ đó suy ra $AH\perp SC$.
a) $SA$ vuông góc với các cạnh đáy;
b) $BC\perp (SAB)$;
c) $BI\perp (SAC)$, từ đó suy ra $BI\perp SC$;
d) $AH\perp (SBC)$, từ đó suy ra $AH\perp SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $SA\perp (ABC)$ và $AB,BC,CA$ cùng nằm trong $(ABC)$ nên $SA\perp AB,SA\perp BC,SA\perp CA$.
b) Ta có $BC\perp AB$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (chứng minh trên), suy ra $BC\perp (SAB)$.
c) Do $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$ và $I$ là trung điểm của $AC$ nên $BI\perp AC$ (1).
Ta có $SA\perp (ABC)$ và $BI\subset (ABC)$, suy ra $SA\perp BI$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $BI\perp (SAC)$, suy ra $BI\perp SC$.
d) Theo giả thiết ta có $AH\perp SB$ (3).
Theo câu b) ta có $BC\perp (SAB)$ và $AH\subset (SAB)$, suy ra $BC\perp AH$.(4)
Từ (3) và (4) suy ra $AH\perp (SBC)$, suy ra $AH\perp SC$.