Bài tập nâng cao · Bài 9
1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC NHẬN DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÀM ĐIỀU KIỆN $f(\sin x)=0$ $t=\sin x$ $\mid t\mid \leq 1$ $f(\cos x)=0$ $t=\cos x$ $\mid t\mid \leq 1$ $f(\tan x)=0$ $t=\tan x$ $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ $f(\cot x)=0$ $t=\cot x$ $x\neq k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ I.Phương trình bậc nhất với 1 hàm lượng giác Làm như phương trình cơ bản. II. Phương trình bậc 2 với 1 hàm lượng giác Các dạng phương trình $a\sin^{2} x+b\sin x+c=0 \\ a\cos^{2} x+b\cos x+c=0 \\ a\tan^{2} x+b\tan x+c=0 \\ a\cot^{2} x+b\cot x+c=0$
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 9
Giải phương trình : $ \frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{4}=\frac{\sin^{6}x+\cos^{6}x}{4\cos^{2}2x+\sin^{2}2x} $
Xem lời giải
Lời giải
$ \bullet \sin^{6}x+\cos^{6}x=1-\frac{3}{4}\sin^{2}2x \quad \bullet 4\cos^{2}2x+\sin^{2}2x=4-3\sin^{2}2x $
Do đó phương trình đã cho
$ \frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{4}=\frac{\sin^{6}x+\cos^{6}x}{4\cos^{2}2x+\sin^{2}2x} $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{4}=\frac{1-\frac{3}{4}\sin^{2}2x}{4-3\sin^{2}2x}=\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \sin^{10}x+\cos^{10}x=1\Leftrightarrow \left( \sin^{2}x-\sin^{10}x \right)+\left( \cos^{2}x-\cos^{10}x \right)=0 \end{array} $
Ta có :
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x-\sin^{10}x=\sin^{2}x(1-\sin^{8}x)\geq 0 \\ \cos^{2}x-\cos^{10}x=\cos^{2}x(1-\cos^{8}x)\geq 0 \end{array} \right. \\ Pt\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x-\sin^{10}x=0 \\ \cos^{2}x-\cos^{10}x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x(1-\sin^{8}x)=0 \\ \cos^{2}x(1-\cos^{8}x)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos x=\pm 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2} \end{array} $
Do đó phương trình đã cho
$ \frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{4}=\frac{\sin^{6}x+\cos^{6}x}{4\cos^{2}2x+\sin^{2}2x} $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{4}=\frac{1-\frac{3}{4}\sin^{2}2x}{4-3\sin^{2}2x}=\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \sin^{10}x+\cos^{10}x=1\Leftrightarrow \left( \sin^{2}x-\sin^{10}x \right)+\left( \cos^{2}x-\cos^{10}x \right)=0 \end{array} $
Ta có :
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x-\sin^{10}x=\sin^{2}x(1-\sin^{8}x)\geq 0 \\ \cos^{2}x-\cos^{10}x=\cos^{2}x(1-\cos^{8}x)\geq 0 \end{array} \right. \\ Pt\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x-\sin^{10}x=0 \\ \cos^{2}x-\cos^{10}x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin^{2}x(1-\sin^{8}x)=0 \\ \cos^{2}x(1-\cos^{8}x)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos x=\pm 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2} \end{array} $