Bài tập nâng cao · Bài 10
1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC NHẬN DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÀM ĐIỀU KIỆN $f(\sin x)=0$ $t=\sin x$ $\mid t\mid \leq 1$ $f(\cos x)=0$ $t=\cos x$ $\mid t\mid \leq 1$ $f(\tan x)=0$ $t=\tan x$ $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ $f(\cot x)=0$ $t=\cot x$ $x\neq k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ I.Phương trình bậc nhất với 1 hàm lượng giác Làm như phương trình cơ bản. II. Phương trình bậc 2 với 1 hàm lượng giác Các dạng phương trình $a\sin^{2} x+b\sin x+c=0 \\ a\cos^{2} x+b\cos x+c=0 \\ a\tan^{2} x+b\tan x+c=0 \\ a\cot^{2} x+b\cot x+c=0$
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 10
Giải các phương trình :
$ \left( \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right)^{n}=\cos^{n}x+\sin^{n}x $ (n=2,3,4...)
$ \left( \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right)^{n}=\cos^{n}x+\sin^{n}x $ (n=2,3,4...)
Xem lời giải
Lời giải
Với điều kiện $ x\neq k\frac{\pi}{2} $ nên ta có tanx và cotx luôn cùng đấu nên :
$ \left| \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right|=\left| \tan x \right|+\left| \frac{1}{4}\cot x \right|\geq 2\sqrt{\left| \tan x.\frac{1}{4}\cot x \right|}=1\Rightarrow \left| \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right|^{n}\geq 1 $
Dấu ‘’=’’ xảy ra $ \Leftrightarrow \left| \tan x \right|=\left| \frac{1}{4}\cot x \right|\Leftrightarrow \tan^{2}x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \tan x=\pm\frac{1}{2} $
• Với n=2 thì phương trình $ \left( \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right)^{2}=1 $ có nghiệm cho bởi :
$ \tan x=\pm\frac{1}{2} $ $ \Leftrightarrow x=\pm\arctan\frac{1}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z}) $
• Với $ n\in\mathbb{Z},n>2 $ thì :
$ \cos^{n}x+\sin^{n}x\leq \cos^{2}x+\sin^{2}x=1 $
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\frac{\pi}{2}\ \text{khi } n=2m \\ x=2k\pi \ \text{hay } x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \ \text{khi } n=2m+1 \end{array} \right. (k,m\in\mathbb{Z}) $
Vậy với $ n\in\mathbb{Z},n>2 $ thì phương trình vô nghiệm
Vậy $ x=\pm\arctan\frac{1}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z}) $
$ \left| \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right|=\left| \tan x \right|+\left| \frac{1}{4}\cot x \right|\geq 2\sqrt{\left| \tan x.\frac{1}{4}\cot x \right|}=1\Rightarrow \left| \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right|^{n}\geq 1 $
Dấu ‘’=’’ xảy ra $ \Leftrightarrow \left| \tan x \right|=\left| \frac{1}{4}\cot x \right|\Leftrightarrow \tan^{2}x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \tan x=\pm\frac{1}{2} $
• Với n=2 thì phương trình $ \left( \tan x+\frac{1}{4}\cot x \right)^{2}=1 $ có nghiệm cho bởi :
$ \tan x=\pm\frac{1}{2} $ $ \Leftrightarrow x=\pm\arctan\frac{1}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z}) $
• Với $ n\in\mathbb{Z},n>2 $ thì :
$ \cos^{n}x+\sin^{n}x\leq \cos^{2}x+\sin^{2}x=1 $
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\frac{\pi}{2}\ \text{khi } n=2m \\ x=2k\pi \ \text{hay } x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \ \text{khi } n=2m+1 \end{array} \right. (k,m\in\mathbb{Z}) $
Vậy với $ n\in\mathbb{Z},n>2 $ thì phương trình vô nghiệm
Vậy $ x=\pm\arctan\frac{1}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z}) $