Giải các phương trình sau:
a) $ \sqrt{2}\sin x-\cos x=\sqrt{2} $
b) $ \sin 7x+\sqrt{3}\cos 7x=\sqrt{2} $
c) $ 5\cos 2x-12\sin 2x=13 $
d) $ \sin x+\cos x=\sqrt{2} $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: a) $ \sqrt{2}\sin x-\cos x=\sqrt{2} $ b) $ \sin 7x+\sqrt{3}\cos 7x=\sqrt{2} $ c) $ 5\cos 2x-12\sin 2x=13 $ d) $ \sin x+\cos x=\sqrt{2} $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $ \sqrt{2}\sin x-\cos x=\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{3}}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $. Đặt $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sin\alpha $, $ \frac{1}{\sqrt{3}}=\cos\alpha $ $ \Leftrightarrow \sin\alpha \sin x-\cos\alpha \cos x=\sin\alpha $ $ \Leftrightarrow \cos\left( \alpha +x ight)=\sin\left( -\alpha ight)=\cos\left( \frac{\pi}{2}+\alpha ight) $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha +x=\frac{\pi}{2}+\alpha +k2\pi \ \alpha +x=-\frac{\pi}{2}-\alpha +k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \ x=-\frac{\pi}{2}-2\alpha +k2\pi \end{array} ight. $. b) $ \sin 7x+\sqrt{3}\cos 7x=\sqrt{2} $ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 7x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 7x=\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ \Leftrightarrow \cos\frac{\pi}{3}\sin 7x+\sin\frac{\pi}{3}\cos 7x=\sin\frac{\pi}{4} $ $ \Leftrightarrow \sin\left( 7x+\frac{\pi}{3} ight)=\sin\frac{\pi}{4} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi}{3}+7x=\frac{\pi}{4}+k2\pi \ \frac{\pi}{3}+7x=\pi -\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{84}+k\frac{2\pi}{7} \ x=\frac{5\pi}{84}+k\frac{2\pi}{7} \end{array} ight. $ c) $ 5\cos 2x-12\sin 2x=13 $ $ \Leftrightarrow \frac{5}{13}\cos 2x-\frac{12}{13}\sin 2x=1 $. Đặt $ \frac{5}{13}=\sin\alpha $, $ \frac{12}{13}=\cos\alpha $ $ \sin\alpha \cos 2x-\cos\alpha \sin 2x=1\Leftrightarrow \sin\left( \alpha -2x ight)=1 $ $ \Leftrightarrow \alpha -2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}+k\pi $. d) $ \sin x+\cos x=\sqrt{2} $ $ \Rightarrow \sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=\sqrt{2} $ $ \Leftrightarrow \sin\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=1 $ $ \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi $.

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 11