Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 46
(CTST12) Một chiếc đèn chùm có trọng lượng 160 N được treo bởi bốn sợi xích $SA$, $SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $SA=80\sqrt{2}$ cm, $\widehat{ASC}=90^{\circ}$. Cho biết trọng lực của đèn được phân bố đều lên bốn sợi xích. Gọi $F_1,\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ là lực tác dụng của các sợi xích lên móc treo $S$. Với hệ toạ độ $Oxyz$ như trong Hình, hãy tìm tọa độ các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $SA=SB=SC=SD=80\sqrt{2}$, $\widehat{ASC}=\widehat{BSD}=90^{\circ}$,
suy ra $OS=OA=OB=OC=OD=80$.
Trong không gian $Oxyz$ như trong hình, ta có $\overrightarrow{SA}=(0;-80;-80),\overrightarrow{SB}=(-80;0;-80)$, $\overrightarrow{SC}=(0;80;-80),\overrightarrow{SD}=(80;0;-80)$.
Các vectơ $F_1,\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có điểm đầu tại $S$, điểm cuối lần lượt là $A',B',C',D'$.
Ta có $SA'=SB'=SC'=SD'$ nên $S.A'B'C'D'$ cũng là hình chóp tứ giác đều.
Gọi $P$ là trọng lực tác dụng lên đèn chùm và $O'$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$.
Ta có $F_1+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{SA'}+\overrightarrow{SB'}+\overrightarrow{SC'}+\overrightarrow{SD'}=4\overrightarrow{SO'}=P$. Từ $\|P\|=160$, suy ra $SO'=40$. Do đó $O'$ là trung điểm của $SO$. Suy ra $A'$ là trung điểm của $SA$.
Suy ra $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{SA'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}=(0;-40;-40)$.
Tương tự ta có $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{SB'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}=(-40;0;-40)$,
$\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{SC'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}=(0;40;-40),\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{SD'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SD}=(40;0;-40)$.
