Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$; $I$ là trung điểm của $BH$. Biết đỉnh $A(2;1)$, phương trình đường chéo $BD$ là $x+5y-19=0$, điểm $I\left(\frac{42}{13};\frac{41}{13}\right)$. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng $AD$.

Question

Dạng 1. Phương trình đường thẳng Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$; $I$ là trung điểm của $BH$. Biết đỉnh $A(2;1)$, phương trình đường chéo $BD$ là $x+5y-19=0$, điểm $I\left(\frac{42}{13};\frac{41}{13}\right)$. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng $AD$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/227d30dd1ea265b03663bba94e8f492b/F. BAI TAP NANG CAO/image78.png] $BD:x+5y-19=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n_{BD}=(1;5)$. $AH\perp BD$ nên $AH$ nhận $\vec n_{BD}=(1;5)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng $AH$ có phương trình tham số là $\begin{cases}x=2+t\y=1+5t\end{cases}\ (t\in\mathbb R)$. $H$ là giao điểm của $AH$ và $BD$ nên tọa độ của $H$ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases}x=2+t\y=1+5t\x+5y-19=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2+t\y=1+5t\t=\frac6{13}\end{cases}\Rightarrow H\left(\frac{32}{13};\frac{43}{13}ight)$. Ta có $H\left(\frac{32}{13};\frac{43}{13}ight)$ mà $I$ là trung điểm của $BH$ nên suy ra $B(4;3)$. Đường thẳng đi qua điểm $A(2;1)$, nhận $\vec n=\frac12\overrightarrow{AB}=(1;1)$ làm một vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát là $(x-2)+(y-1)=0\Leftrightarrow x+y-3=0$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 4