Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 23
(KNTT12) Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên $\theta \left(45^\circ<\theta<90^\circ\right)$ so với phương ngang với vận tốc ban đầu là $v_0$ (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc $45^\circ$ so với phương ngang (xem hình vẽ).
Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường $R$ (tính bằng feet, 1 feet $=0,3048$ m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số $R(\theta)=\frac{v_0^2\sqrt{2}}{16}\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)$.
Góc ném $\theta$ nào làm cho quãng đường $R$ lớn nhất? Giá trị lớn nhất của $R$ là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$R(\theta)=\frac{v_0^2\sqrt{2}}{16}\left(\cos\theta\sin\theta-\cos^2\theta\right)=\frac{v_0^2\sqrt{2}}{32}(\sin2\theta-\cos2\theta-1),45^\circ<\theta<90^\circ$.
Do đó: $R'(\theta)=\frac{v_0^2\sqrt{2}}{16}(\cos2\theta+\sin2\theta);R'(\theta)=0\Leftrightarrow2\theta=135^\circ\Leftrightarrow\theta=67,5^\circ$ (do $45^\circ<\theta<90^\circ$). Mặt khác, $R(45^\circ)=0;R(67,5^\circ)=\frac{v_0^2(2-\sqrt{2})}{32};R(90^\circ)=0$.
Bảng biến thiên:
Vậy khi góc ném $\theta=67,5^\circ$ thì quãng đường $R$ là lớn nhất và bằng $\frac{v_0^2(2-\sqrt{2})}{32}$ feet, trong đó $v_0$ (feet/giây) là vận tốc ban đầu của vật.
