Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 24
(KNTT12) Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu $t=0$ giây để chuyển động trong 4 giây. Vị trí $s$ (cm) tại thời điểm $t$ giây là $s=10\cos\pi t$.
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Vận tốc của xe là $v(t)=s'(t)=-10\pi\sin\pi t$ (cm/s).
Do đó, gia tốc của xe là $a(t)=v'(t)=-10\pi^2\cos\pi t$ (cm/s$^2$).
Ta có: $v'(t)=0\Leftrightarrow t\in\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\end{array}\right\}$ (do $t\in[0;4]$).
Mặt khác, $v(0)=v(4)=0;v\left(\frac{1}{2}\right)=v\left(\frac{5}{2}\right)=-10\pi;v\left(\frac{3}{2}\right)=v\left(\frac{7}{2}\right)=10\pi$.
Tốc độ là độ lớn của vận tốc, tức là $\lVert v(t)\rVert$.
Vậy tốc độ lớn nhất của xe là $10\pi$ (cm/s), đạt được tại các thời điểm: $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}$ giây.
Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại vị trí $s=0$ (tức là ở vị trí xe đứng yên, khi mà chưa kéo lò xo).
b) Ta có: $a'(t)=10\pi^3\sin\pi t;a'(t)=0\Leftrightarrow t\in\{0;1;2;3;4\}$.
Khi đó, $a(0)=a(2)=a(4)=-10\pi^2;a(1)=a(3)=10\pi^2$.
Độ lớn gia tốc của xe là $\lVert a(t)\rVert$. Do đó, độ lớn gia tốc là lớn nhất tại các thời điểm $0;1;2;3;4$ giây.
Khi $t=0;2;4$ giây, xe ở vị trí $s=10$ (cm); khi $t=1;3$ giây, xe ở vị trí $s=-10$ (cm). Vậy độ lớn gia tốc của xe lớn nhất tại các vị trí $s=10$ (cm) hoặc $s=-10$ (cm) (tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường dao động) và tại các vị trí đó, vận tốc của xe đều bằng 0.
