Bài tự luận · Bài 21
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 21
(KNTT12) Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ $ x $ dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức $ \frac { 1 } { 200 }\left ( { \frac { 2500 } { x }+x } \right ) $ gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là 3,6 USD/gallon thì chi phí nhiên liệu $ C $ (tính bằng USD) khi lái xe 200 dặm với tốc độ $ x $ dặm/giờ được cho bởi công thức
$ C=C(x)=3,6\cdot \left ( { \frac { 2500 } { x }+x } \right ) $
Ở đây, dặm và gallon là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng $ [10;75] $. Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?
$ C=C(x)=3,6\cdot \left ( { \frac { 2500 } { x }+x } \right ) $
Ở đây, dặm và gallon là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng $ [10;75] $. Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ C ^ { ′ } (x)=3,6\left ( { -\frac { 2500 } { x ^ { 2 } }+1 } \right );C ^ { ′ } (x)=0\Leftrightarrow x=50 $ (do $ x\in [10;75] $). Mặt khác, $ C(10)=936;C(50)=360;C(75)=390 $. Vậy xe tải đi với tốc độ 50 dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.
b) Trong trường hợp người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ (khi xe chạy) thì chi phí $ C(x) $ khi lái xe $ s $ dặm là
$ C(x)=28\cdot \frac { s } { x }+\frac { s } { 200 }\left ( { \frac { 2500 } { x }+x } \right )=s\left ( { \frac { 81 } { 2x }+\frac { x } { 200 } } \right ) $
Ta có: $ C ^ { ′ } (x)=s\left ( { -\frac { 81 } { 2x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 200 } } \right ) $. Suy ra $ C ^ { ′ } (x) < 0 $ với mọi $ x\in [10;75] $, tức là hàm số $ C(x) $ nghịch biến trên đoạn này.
Vậy khi xe tải di chuyển với tốc độ 75 dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phí nhất.
b) Trong trường hợp người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ (khi xe chạy) thì chi phí $ C(x) $ khi lái xe $ s $ dặm là
$ C(x)=28\cdot \frac { s } { x }+\frac { s } { 200 }\left ( { \frac { 2500 } { x }+x } \right )=s\left ( { \frac { 81 } { 2x }+\frac { x } { 200 } } \right ) $
Ta có: $ C ^ { ′ } (x)=s\left ( { -\frac { 81 } { 2x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 200 } } \right ) $. Suy ra $ C ^ { ′ } (x) < 0 $ với mọi $ x\in [10;75] $, tức là hàm số $ C(x) $ nghịch biến trên đoạn này.
Vậy khi xe tải di chuyển với tốc độ 75 dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phí nhất.