Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 25
(KNTT12) Máng xối nước mưa được làm bằng một miếng nhôm rộng 30 cm. Sau khi đánh dấu chiều dài 10 cm từ mỗi cạnh, miếng nhôm được gập lên một góc $\theta$ (xem hình vẽ).
Diện tích $S$ (cm$^2$) của mặt cắt ngang của máng được biểu thị dưới dạng một hàm số của $\theta$ như sau: $S=S(\theta)=100\sin\theta(\cos\theta+1),0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$.
Tìm góc $\theta$ để diện tích $S$ là lớn nhất (góc $\theta$ này sẽ cho phép nước chảy nhiều nhất qua máng xối).
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $S(\theta)=100\sin\theta\cos\theta+100\sin\theta=50\sin2\theta+100\sin\theta,0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$.
Suy ra, $S'(\theta)=100\cos2\theta+100\cos\theta=100(\cos2\theta+\cos\theta)$.
Do đó trên đoạn $\left[0;\frac{\pi}{2}\right],S'(\theta)=0\Leftrightarrow\theta=\frac{\pi}{3}$.
Mặt khác, ta có: $S(0)=0;S\left(\frac{\pi}{2}\right)=100;S\left(\frac{\pi}{3}\right)=75\sqrt{3}$.
Vậy để diện tích $S$ của mặt cắt ngang của máng lớn nhất thì góc uốn $\theta$ phải bằng $\frac{\pi}{3}$.
