Bài tập nâng cao · Bài 79
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 79
Biết rằng đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ và các tiếp tuyến này có hệ số góc lần lượt là $k_1$, $k_2$. Khi đó tích $k_1.k_2$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=3x^2-3$.
Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0$ có dạng:
$y=\left( 3x_0^2-3 \right)\left( x-x_0 \right)+x_0^3-3x_0+2.$
Tiếp tuyến đi qua $A\left( 1;\ 0 \right)\Leftrightarrow \left( 3x_0^2-3 \right)\left( 1-x_0 \right)+x_0^3-3x_0+2=0$
$\Leftrightarrow -2x_0^3+3x_0^2-1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=1\\x_0=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$.
Với $x_0=1$ phương trình tiếp tuyến là đường thẳng $y=0$, có hệ số góc $k_1=0$.
Với $x_0=-\frac{1}{2}$ phương trình tiếp tuyến là đường thẳng $y=-\frac{9}{4}x+\frac{9}{4}$ có hệ số góc $k_2=-\frac{9}{4}$.
Vậy $k_1.k_2=0$.
Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0$ có dạng:
$y=\left( 3x_0^2-3 \right)\left( x-x_0 \right)+x_0^3-3x_0+2.$
Tiếp tuyến đi qua $A\left( 1;\ 0 \right)\Leftrightarrow \left( 3x_0^2-3 \right)\left( 1-x_0 \right)+x_0^3-3x_0+2=0$
$\Leftrightarrow -2x_0^3+3x_0^2-1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=1\\x_0=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$.
Với $x_0=1$ phương trình tiếp tuyến là đường thẳng $y=0$, có hệ số góc $k_1=0$.
Với $x_0=-\frac{1}{2}$ phương trình tiếp tuyến là đường thẳng $y=-\frac{9}{4}x+\frac{9}{4}$ có hệ số góc $k_2=-\frac{9}{4}$.
Vậy $k_1.k_2=0$.