Bài tập nâng cao · Bài 80
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 80
Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để từ điểm $A\left( 1;m \right)$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left( C \right).$
Xem lời giải
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus\left\{ -1 \right\}$, $y'=\frac{3}{\left( x+1 \right)^2}$
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ có dạng $y=k\left( x-1 \right)+m$.
$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x+1}=k\left( x-1 \right)+m\\k=\frac{3}{\left( x+1 \right)^2}\end{array}\right.$ có nghiệm.
Từ hệ trên suy ra:
$\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{\left( x+1 \right)^2}\left( x-1 \right)+m$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)=3\left( x-1 \right)+m\left( x+1 \right)^2$
$\Leftrightarrow x^2-x-2=3x-3+mx^2+2mx+m$
$\Leftrightarrow \left( 1-m \right)x^2-2\left( 2+m \right)x+1-m=0\quad \left( 1 \right)$
Đặt $f\left( x \right)=\left( 1-m \right)x^2-2\left( 2+m \right)x+1-m$.
Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}1-m\neq 0\\\Delta'>0\\f\left( -1 \right)\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\neq 1\\\left( 2+m \right)^2-\left( 1-m \right)^2>0\\6\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\neq 1\\6m+3>0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\m\neq 1\end{array}\right.$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ có dạng $y=k\left( x-1 \right)+m$.
$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x+1}=k\left( x-1 \right)+m\\k=\frac{3}{\left( x+1 \right)^2}\end{array}\right.$ có nghiệm.
Từ hệ trên suy ra:
$\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{\left( x+1 \right)^2}\left( x-1 \right)+m$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)=3\left( x-1 \right)+m\left( x+1 \right)^2$
$\Leftrightarrow x^2-x-2=3x-3+mx^2+2mx+m$
$\Leftrightarrow \left( 1-m \right)x^2-2\left( 2+m \right)x+1-m=0\quad \left( 1 \right)$
Đặt $f\left( x \right)=\left( 1-m \right)x^2-2\left( 2+m \right)x+1-m$.
Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}1-m\neq 0\\\Delta'>0\\f\left( -1 \right)\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\neq 1\\\left( 2+m \right)^2-\left( 1-m \right)^2>0\\6\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\neq 1\\6m+3>0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\m\neq 1\end{array}\right.$.