Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 17
Tích phân $ \int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\frac { 2 ^ { a } } { b } $. Tính tổng$ S=a+b $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ I=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x=-t\Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $. Đổi cận $ x=-2\Rightarrow t=2;x=2\Rightarrow t=-2 $.
Ta được $ I=\int _{ 2 }^{ -2 } { \frac { \left ( { -t } \right ) ^ { 2020 } } { e ^ { -t } +1 }.\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { t ^ { 2020 } } { \frac { 1 } { e ^ { t } }+1 }.{ \rm{ d } }t }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { t ^ { 2020 } .e ^ { t } } { e ^ { t } +1 }.{ \rm{ d } }t }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } .e ^ { x } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ 2I=I+I=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x }+\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } .e ^ { x } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ 2 } { x ^ { 2020 } .{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 } } \right ._{ -2 } ^{ 2 }=\frac { 2 ^ { 2021 } -\left ( { -2 } \right ) ^ { 2021 } } { 2021 }=\frac { 2 ^ { 2022 } } { 2021 } $.
Do đó $ I=\frac { 2 ^ { 2021 } } { 2021 } $. Suy ra $ a=b=2021 $. Vậy $ S=a+b=4042 $.
Đặt $ x=-t\Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $. Đổi cận $ x=-2\Rightarrow t=2;x=2\Rightarrow t=-2 $.
Ta được $ I=\int _{ 2 }^{ -2 } { \frac { \left ( { -t } \right ) ^ { 2020 } } { e ^ { -t } +1 }.\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { t ^ { 2020 } } { \frac { 1 } { e ^ { t } }+1 }.{ \rm{ d } }t }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { t ^ { 2020 } .e ^ { t } } { e ^ { t } +1 }.{ \rm{ d } }t }=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } .e ^ { x } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ 2I=I+I=\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x }+\int _{ -2 }^{ 2 } { \frac { x ^ { 2020 } .e ^ { x } } { e ^ { x } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ 2 } { x ^ { 2020 } .{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 } } \right ._{ -2 } ^{ 2 }=\frac { 2 ^ { 2021 } -\left ( { -2 } \right ) ^ { 2021 } } { 2021 }=\frac { 2 ^ { 2022 } } { 2021 } $.
Do đó $ I=\frac { 2 ^ { 2021 } } { 2021 } $. Suy ra $ a=b=2021 $. Vậy $ S=a+b=4042 $.