Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 16
Biết $ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { xln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) }{ \rm{ d } }x=aln5+bln3+c $ trong đó $ a $, $ b $, $ c $ là các số thực. Tính giá trị của biểu thức $ T=a+b+c $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x{ \rm{ d } }x \\ \end{array} \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 2x } { x ^ { 2 } +9 }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Do đó
$ I=\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\int _{ 0 }^{ 4 } { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }.\frac { 2x } { x ^ { 2 } +9 }{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\int _{ 0 }^{ 4 } { x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 } =\frac { 25 } { 2 }ln25-\frac { 9 } { 2 }ln9-8 =25ln5-9ln3-8 =aln5+bln3+c $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=25 \\ b=-9 \\ c=-8 \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c=8 $.
Cách 2
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { xln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=x ^ { 2 } +9\Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x\Rightarrow x{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t $
Đổi cận: $ x=0\Rightarrow t=9 $, $ x=4\Rightarrow t=25 $
Suy ra $ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { xln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 9 }^{ 25 } { lnt }{ \rm{ d } }t $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=lnt \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }t \\ \end{array} \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t \\ v=t \\ \end{array} \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 9 }^{ 25 } { tlnt }{ \rm{ d } }t=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }-\int _{ 9 }^{ 25 } { t.\frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }-\int _{ 9 }^{ 25 } { { \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }\left | { -t } \right ._{ 9 } ^{ 25 } } \right ) =\frac { 25 } { 2 }ln25-\frac { 9 } { 2 }ln9-8 =25ln5-9ln3-8 =aln5+bln3+c $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=25 \\ b=-9 \\ c=-8 \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c=8 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x{ \rm{ d } }x \\ \end{array} \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 2x } { x ^ { 2 } +9 }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Do đó
$ I=\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\int _{ 0 }^{ 4 } { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }.\frac { 2x } { x ^ { 2 } +9 }{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\int _{ 0 }^{ 4 } { x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } +9 } { 2 }ln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }-\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 } =\frac { 25 } { 2 }ln25-\frac { 9 } { 2 }ln9-8 =25ln5-9ln3-8 =aln5+bln3+c $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=25 \\ b=-9 \\ c=-8 \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c=8 $.
Cách 2
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { xln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=x ^ { 2 } +9\Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x\Rightarrow x{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t $
Đổi cận: $ x=0\Rightarrow t=9 $, $ x=4\Rightarrow t=25 $
Suy ra $ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { xln\left ( { x ^ { 2 } +9 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 9 }^{ 25 } { lnt }{ \rm{ d } }t $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=lnt \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }t \\ \end{array} \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t \\ v=t \\ \end{array} \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 9 }^{ 25 } { tlnt }{ \rm{ d } }t=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }-\int _{ 9 }^{ 25 } { t.\frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }-\int _{ 9 }^{ 25 } { { \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \left | { t.lnt } \right ._{ 9 } ^{ 25 }\left | { -t } \right ._{ 9 } ^{ 25 } } \right ) =\frac { 25 } { 2 }ln25-\frac { 9 } { 2 }ln9-8 =25ln5-9ln3-8 =aln5+bln3+c $.
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=25 \\ b=-9 \\ c=-8 \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c=8 $.