Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 15
Cho $ I=\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=26 $. Khi đó $ J=\int _{ 0 }^{ 2 } { x\left[ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+1 \right]{ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
+ Ta có: $ J=\int _{ 0 }^{ 2 } { x\left[ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+1 \right]{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
+ Xét $ A=\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } $.
$ A=\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=2 $.
+ Xét $ B=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=x ^ { 2 } +1 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=2\Rightarrow t=5$.
Ta có: $ B=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }.26=13 $.
Vậy $ J=A+B=15 $.
+ Xét $ A=\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } $.
$ A=\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=2 $.
+ Xét $ B=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=x ^ { 2 } +1 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=2\Rightarrow t=5$.
Ta có: $ B=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }.26=13 $.
Vậy $ J=A+B=15 $.