Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 14
Biết rằng $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { 2lnx+1 } { x\left ( { lnx+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=aln2-\frac { b } { c } $ với $ a,b,c $ là các số nguyên dương và $ \frac { b } { c } $ là phân số tối giản. Tính $ S=a+b+c $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ lnx+1=t $. Ta có: $ \frac { 1 } { x }{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t $.
Đổi cận: $ x=1\Rightarrow t=1 $; $ x=e\Rightarrow t=2 $.
Ta có: $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { 2lnx+1 } { x\left ( { lnx+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 2\left ( { t-1 } \right )+1 } { t ^ { 2 } }{ \rm{ d } }t } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2 } { t }-\frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }t } =\left | { \left ( { 2ln\left | { t } \right |+\frac { 1 } { t } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } =2ln2-\frac { 1 } { 2 } $.
Suy ra: $ a=2 $; $ b=1 $; $ c=2 $. Khi đó: $ S=a+b+c=5 $.
Đổi cận: $ x=1\Rightarrow t=1 $; $ x=e\Rightarrow t=2 $.
Ta có: $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { 2lnx+1 } { x\left ( { lnx+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 2\left ( { t-1 } \right )+1 } { t ^ { 2 } }{ \rm{ d } }t } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2 } { t }-\frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }t } =\left | { \left ( { 2ln\left | { t } \right |+\frac { 1 } { t } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } =2ln2-\frac { 1 } { 2 } $.
Suy ra: $ a=2 $; $ b=1 $; $ c=2 $. Khi đó: $ S=a+b+c=5 $.