Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 13
Cho hàm số$ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 0 } \right )=-1 $và $ f'\left ( { x } \right )=x\left ( { 6+12x+e ^ { -x } } \right ),∀x\in \mathbb{R} $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=x\left ( { 6+12x+e ^ { -x } } \right ),∀x\in \mathbb{R} $ nên $ f\left ( { x } \right ) $là một nguyên hàm của $ f'\left ( { x } \right ) $.
$ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int { x\left ( { 6+12x+e ^ { -x } } \right ){ \rm{ d } }x } }=\int { \left ( { 6x+12x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x+\int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x } } $
Mà $ \int { \left ( { 6x+12x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } }+C $
Xét $ \int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x } $: Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ { \rm{ d } }v=e ^ { -x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-e ^ { -x } \end{array} \right. $
$ \int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x=-xe ^ { -x } +\int { e ^ { -x } } }{ \rm{ d } }x=-xe ^ { -x } -e ^ { -x } +C=-\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } +C $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } +C,∀x\in \mathbb{R} $.
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=-1\Rightarrow C=0 $ nên $ f\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } ,∀x\in \mathbb{R} $.
Ta có
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { x ^ { 3 } +x ^ { 4 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=2-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x } $
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x } $: Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x+1 \\ { \rm{ d } }v=e ^ { -x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-e ^ { -x } \end{array} \right. $
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=\left | { -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=-2e ^ { -1 } +1-\left | { e ^ { -x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=-2e ^ { -1 } +1-e ^ { -1 } +1=2-3e ^ { -1 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3e ^ { -1 } $.
$ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int { x\left ( { 6+12x+e ^ { -x } } \right ){ \rm{ d } }x } }=\int { \left ( { 6x+12x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x+\int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x } } $
Mà $ \int { \left ( { 6x+12x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } }+C $
Xét $ \int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x } $: Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ { \rm{ d } }v=e ^ { -x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-e ^ { -x } \end{array} \right. $
$ \int { xe ^ { -x } { \rm{ d } }x=-xe ^ { -x } +\int { e ^ { -x } } }{ \rm{ d } }x=-xe ^ { -x } -e ^ { -x } +C=-\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } +C $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } +C,∀x\in \mathbb{R} $.
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=-1\Rightarrow C=0 $ nên $ f\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } ,∀x\in \mathbb{R} $.
Ta có
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +4x ^ { 3 } -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { x ^ { 3 } +x ^ { 4 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=2-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x } $
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x } $: Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x+1 \\ { \rm{ d } }v=e ^ { -x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-e ^ { -x } \end{array} \right. $
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=\left | { -\left ( { x+1 } \right )e ^ { -x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { -x } { \rm{ d } }x }=-2e ^ { -1 } +1-\left | { e ^ { -x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=-2e ^ { -1 } +1-e ^ { -1 } +1=2-3e ^ { -1 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3e ^ { -1 } $.