Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 12
Cho hàm số $ f(x) $ có $ f(0)=4 $ và$ f'(x)=2cos ^ { 2 } x+1,∀x\in \mathbb{R} $ Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f(x)dx } $ bằng.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ f(x)=\int { (2cos ^ { 2 } }x+1){ \rm{ d } }x=\int { \left ( { 2\left ( { \frac { 1+cos2x } { 2 } } \right )+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int { \left ( { cos2x+2 } \right ) }{ \rm{ d } }x \\ =\int { cos2x{ \rm{ d } }x+\int { 2{ \rm{ d } }x } }=\frac { sin2x } { 2 }+2x+C. $
Lại có $ f(0)=4\Leftrightarrow C=4\Rightarrow f(x)=\frac { sin2x } { 2 }+2x+4. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f(x){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { \frac { sin2x } { 2 }+2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x= }\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { sin2x{ \rm{ d } }(2x)+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { 2x{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { 4{ \rm{ d } }x } } } \\ =\frac { -cos2x } { 4 }\left | { \frac { \pi } { 4 } \\ 0 } \right .+(x ^ { 2 } +4x)\left | { \frac { \pi } { 4 } \\ 0 } \right .=\frac { \pi ^ { 2 } +16\pi +4 } { 16 }. $.
$ f(x)=\int { (2cos ^ { 2 } }x+1){ \rm{ d } }x=\int { \left ( { 2\left ( { \frac { 1+cos2x } { 2 } } \right )+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int { \left ( { cos2x+2 } \right ) }{ \rm{ d } }x \\ =\int { cos2x{ \rm{ d } }x+\int { 2{ \rm{ d } }x } }=\frac { sin2x } { 2 }+2x+C. $
Lại có $ f(0)=4\Leftrightarrow C=4\Rightarrow f(x)=\frac { sin2x } { 2 }+2x+4. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f(x){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { \frac { sin2x } { 2 }+2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x= }\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { sin2x{ \rm{ d } }(2x)+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { 2x{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { 4{ \rm{ d } }x } } } \\ =\frac { -cos2x } { 4 }\left | { \frac { \pi } { 4 } \\ 0 } \right .+(x ^ { 2 } +4x)\left | { \frac { \pi } { 4 } \\ 0 } \right .=\frac { \pi ^ { 2 } +16\pi +4 } { 16 }. $.