Bài tự luận · Bài 21
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức
Bài tự luận Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° · Bài 21
(KNTT10) Chứng minh rằng:
a) $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$;
b) $\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$;
c*) $\sqrt{\sin^4\alpha+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha}=4$.
a) $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$;
b) $\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$;
c*) $\sqrt{\sin^4\alpha+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha}=4$.
Xem lời giải
Lời giải
a) HD. Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ và hệ thức cơ bản.
b) HD. Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ và hệ thức cơ bản.
c) Sử dụng hệ thức cơ bản $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ta được
$\sqrt{\sin^4\alpha+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha}$
$=\sqrt{\left(1-\cos^2\alpha\right)^2+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\left(1-\sin^2\alpha\right)^2+4\sin^2\alpha}$
$=\sqrt{4+4\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}+\sqrt{1+2\sin^2\alpha+\sin^4\alpha}=\left(2+\cos^2\alpha\right)+\left(1+\sin^2\alpha\right)=4$.
b) HD. Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ và hệ thức cơ bản.
c) Sử dụng hệ thức cơ bản $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ta được
$\sqrt{\sin^4\alpha+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha}$
$=\sqrt{\left(1-\cos^2\alpha\right)^2+6\cos^2\alpha+3}+\sqrt{\left(1-\sin^2\alpha\right)^2+4\sin^2\alpha}$
$=\sqrt{4+4\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}+\sqrt{1+2\sin^2\alpha+\sin^4\alpha}=\left(2+\cos^2\alpha\right)+\left(1+\sin^2\alpha\right)=4$.