Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 9
Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm hai đường chéo $AC,BD$. Chứng minh $AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2+4MN^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Trong tam giác $ABD,CBD$, ta có
$AB^2+AD^2=2AN^2+\frac{BD^2}{2}$.
$CB^2+CD^2=2CN^2+\frac{BD^2}{2}$.
Vậy nên $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AN^2+CN^2)+BD^2$.
Vì $M$ là trung điểm của $AC$ nên
$NA^2+NC^2=2MN^2+\frac{AC^2}{2}$.
Do đó $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2\left(2MN^2+\frac{AC^2}{2}\right)+BD^2=AC^2+BD^2+4MN^2$.
