Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 10
Cho tam giác $ABC$, chứng minh
a) $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
b) $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.
a) $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
b) $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng định lí sin và công thức diện tích, ta có
a) Ta có $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}R=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
b) Tương tự $\cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ và $\cot C=\frac{b^2+a^2-c^2}{4S}$ nên
$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{c^2+b^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.
a) Ta có $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}R=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.
b) Tương tự $\cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ và $\cot C=\frac{b^2+a^2-c^2}{4S}$ nên
$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{c^2+b^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.