Bài tập nâng cao Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 25
Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ và cạnh $a$. $M$ là một điểm bất kỳ.
a) Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}\right|$, $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO} \Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}$. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}\right|=AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$. Suy ra $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|=0$.
b) Áp dụng quy tắc trừ ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)-\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\right)=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DC}$.
Lấy $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$. Khi đó $-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB'} \Rightarrow \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BB'}$.
Suy ra $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=\left|\overrightarrow{BB'}\right|=BB'=2a$.
