Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 25
Cho 3 số $a,b,c$ là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh rằng: $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(ab+bc\right)^{2}$
Xem lời giải
Lời giải
Cho 3 số $a,b,c$ là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân ta có $b=aq, c=aq^{2}$
$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(a^{2}+a^{2}q^{2}\right)\left(a^{2}q^{2}+a^{2}q^{4}\right)=a^{4}q^{2}\left(1+q^{2}\right)^{2}$ (1)
$\left(ab+bc\right)^{2}=\left(a.aq+aq.aq^{2}\right)^{2}=a^{4}q^{2}\left(1+q^{2}\right)^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(ab+bc\right)^{2}$.
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân ta có $b=aq, c=aq^{2}$
$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(a^{2}+a^{2}q^{2}\right)\left(a^{2}q^{2}+a^{2}q^{4}\right)=a^{4}q^{2}\left(1+q^{2}\right)^{2}$ (1)
$\left(ab+bc\right)^{2}=\left(a.aq+aq.aq^{2}\right)^{2}=a^{4}q^{2}\left(1+q^{2}\right)^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(ab+bc\right)^{2}$.