Biết parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } -4x+m $ biết $ \left ( { P } \right ) $ cắt $ Ox $ tại hai điểm phân biệt $ A,{ \rm{ } }B $ thỏa mãn $ OA=3OB $. Tìm $ m $ nguyên âm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $ x ^ { 2 } -4x+m=0. \left ( { * } \right ) $ Để $ \left ( { P } \right ) $ cắt $ Ox $ tại hai điểm phân biệt $ A,{ \rm{ } }B $ thì $ \left ( { * } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt $ ⇔Δ=4-m>0⇔m < 4. $ Theo giả thiết $ OA=3OB⇔\left | { x_{ A } } \right |=3\left | { x_{ B } } \right |⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ A } =3x_{ B } \\ x_{ A } =-3x_{ B } \end{array} \right. $ Với $ x_{ A } =3x_{ B } ⇒\left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =3x_{ B } \\ x_{ A } +x_{ B } =4 \\ x_{ A } .x_{ B } =m \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =3 \\ x_{ B } =1 \\ x_{ A } .x_{ B } =m \end{array} \right.⇒m=x_{ A } .x_{ B } =3 $: thỏa mãn. Với $ x_{ A } =-3x_{ B } ⇒\left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =-3x_{ B } \\ x_{ A } +x_{ B } =4 \\ x_{ A } .x_{ B } =m \end{array} \right.⇒m=x_{ A } .x_{ B } =-12 $: thỏa mãn. Do đó $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } -4x+3;y=x ^ { 2 } -4x-12 $.