Bài tập nâng cao · Bài 40
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 40
Cho hàm số $y=\sin 2x-2\cos x$. Phương trình $y'=0$ có bao nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=2\cos 2x+2\sin x$.
Khi đó $y'=0$ $\Leftrightarrow 2\cos 2x+2\sin x=0$
$\Leftrightarrow 2\left( 1-2\sin^{2}x \right)+2\sin x=0$ $\Leftrightarrow 1-2\sin^{2}x+\sin x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\ \sin x=-\frac{1}{2}=\sin\frac{-\pi}{6} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Vì $x\in \left( 0;\pi \right)$ nên phương trình $y'=0$ có $1$ nghiệm là $x=\frac{\pi}{2}$.
Vậy phương trình $y'=0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left( 0;\pi \right)$.
Khi đó $y'=0$ $\Leftrightarrow 2\cos 2x+2\sin x=0$
$\Leftrightarrow 2\left( 1-2\sin^{2}x \right)+2\sin x=0$ $\Leftrightarrow 1-2\sin^{2}x+\sin x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\ \sin x=-\frac{1}{2}=\sin\frac{-\pi}{6} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Vì $x\in \left( 0;\pi \right)$ nên phương trình $y'=0$ có $1$ nghiệm là $x=\frac{\pi}{2}$.
Vậy phương trình $y'=0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left( 0;\pi \right)$.