Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 17
Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+bx+1\text{ khi }x\geq 0 \\ ax-b-1\text{ khi }x < 0 \end{array} \right.$. Khi hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{o}=0$. Hãy tính $T=a-2b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax^{2}+bx+1 \right)=1;\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( ax-b-1 \right)=-b-1;f(0)=1$
Do hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{o}=0$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{o}=0$, tức là $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.
Lại có:
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{ax^{2}-2x+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax-2 \right)=-2$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{ax+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}a=a$.
Do hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{o}=0$ nên $a=-2$.
Vậy $T=a-2b=-2-2.(-2)=2$.
Do hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{o}=0$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{o}=0$, tức là $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.
Lại có:
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{ax^{2}-2x+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax-2 \right)=-2$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{ax+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}a=a$.
Do hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{o}=0$ nên $a=-2$.
Vậy $T=a-2b=-2-2.(-2)=2$.