Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển thành đa thức của $(1 + x + x^2 + x^3)^5$.

Ta có: $(1 + x + x^2 + x^3)^5 = [(1 + x) + x^2(1 + x)]^5 = [(1 + x)(1 + x^2)]^5 = (1 + x)^5(1 + x^2)^5$. Xét khai triển $(1 + x)^5(1 + x^2)^5 = \sum_{k=0}^5 C_5^k x^k \cdot \sum_{l=0}^5 C_5^l x^{2l} = \sum_{k=0}^5 \sum_{l=0}^5 C_5^k C_5^l x^{k+2l}$. Số hạng chứa $x^{10}$ tương ứng với $k, l$ thỏa mãn $k + 2l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2l$. Kết hợp với điều kiện, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l} k = 10 - 2l \\ 0 \le k \le 5, \, k \in \mathbb{N} \\ 0 \le l \le 5, \, l \in \mathbb{N} \end{array}\right. \Leftrightarrow (k; l) \in \{(0; 5), (2; 4), (4; 3)\}$. Vậy hệ số của $x^{10}$ bằng tổng các $C_5^k \cdot C_5^l$ thỏa mãn: $C_5^0 \cdot C_5^5 + C_5^2 \cdot C_5^4 + C_5^4 \cdot C_5^3 = 101$.