Cho khai triển $ \left ( { x ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 4 } +\left ( { 2x-\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 5 } $. Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Ta có: $ \left ( { x ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 4 } +\left ( { 2x-\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 5 } =C_{ 4 } ^{ 0 }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 4 } +C_{ 4 } ^{ 1 }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 3 } .\left ( { -2 } \right )+C_{ 4 } ^{ 2 }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } .\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +C_{ 4 } ^{ 3 }\left ( { x ^ { 2 } } \right ).\left ( { -2 } \right ) ^ { 3 } $ $ +C_{ 4 } ^{ 4 }\left ( { -2 } \right ) ^ { 4 } +C_{ 5 } ^{ 0 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 5 } +C_{ 5 } ^{ 1 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 4 } .\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right )+C_{ 5 } ^{ 2 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 3 } .\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 2 } $ $ +C_{ 5 } ^{ 3 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 2 } .\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }\left ( { 2x } \right ).\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 4 } +C_{ 5 } ^{ 5 }\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 5 } $ $ =x ^ { 8 } -8x ^ { 6 } +24x ^ { 4 } -32x ^ { 2 } +16+32x ^ { 5 } -80+80.\frac { 1 } { x ^ { 5 } }-40.\frac { 1 } { x ^ { 10 } }+10.\frac { 1 } { x ^ { 15 } }-\frac { 1 } { x ^ { 20 } } $ $ =x ^ { 8 } -8x ^ { 6 } +32x ^ { 5 } +24x ^ { 4 } -32x ^ { 2 } -64+\frac { 80 } { x ^ { 5 } }-\frac { 40 } { x ^ { 10 } }+\frac { 10 } { x ^ { 15 } }-\frac { 1 } { x ^ { 20 } } $. Từ đó ta có các kết luận sau: +) Hệ số của $ x ^ { 8 } $trong khai triển là $ 1 $ $ ⇒ $ mệnh đề a) là đúng. +) Hệ số của $ x ^ { 2 } $trong khai triển là $ -\,32 $ $ ⇒ $ mệnh đề b) là sai. +) Số hạng chứa $ x ^ { 4 } $trong khai triển là $ 24x ^ { 4 } $ $ ⇒ $ mệnh đề c) là đúng. +) Số hạng tự do trong khai triển là $ -\,64 $ $ ⇒ $ mệnh đề d) là đúng.