Cho biết trong khai triển $ \left ( { x ^ { 2 } +\frac { 1 } { x } } \right ) ^ { n } , $tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46. Tìm hạng tử không chứa x.

Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46 nên ta có: $ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }+C_{ n } ^{ 2 }=46\Leftrightarrow \frac { n! } { \left ( { n-1 } \right )! }+\frac { n! } { 2\left ( { n-2 } \right )! }=45\Leftrightarrow n+\frac { n.\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }=45 $ $ \Leftrightarrow n ^ { 2 } +n-90=0\Leftrightarrow \left ( { n-9 } \right )\left ( { n+10 } \right )=0\Leftrightarrow n=9 $. Ta có $ \left ( { x ^ { 2 } +\frac { 1 } { x } } \right ) ^ { 9 } =∑ \limits_{ k=0 } ^ 9 { C_{ 9 } ^{ k }⋅\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { k } ⋅\left ( { x ^ { -1 } } \right ) ^ { 9-k } =∑ \limits_{ k=0 } ^ 9 { C_{ 9 } ^{ k }⋅x ^ { 3k-9 } } } $. Số hạng không chứa x ứng với $ \left \{ \begin{array}{l} 3k-9=0 \\ 0≤k≤9 \end{array} \right. \Rightarrow k=3. $ Vậy số hạng không chứa x bằng: $ C_{ 9 } ^{ 3 }=84 $