Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là dây cầu văng dài nhất Việt nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là để tượng trưng cho 5 cửa ô cổ kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mỹ thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol. Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một parabol (như hình vẽ). Biết độ rộng của mặt đường khoảng $ 43m $. Một người đã dùng dây dọi (không giãn) gắn lên thành trụ cầu ở vị trí B và điều chỉnh độ dài dây dọi để quả nặng vừa chạm đất (khi lặng gió), sau đó đo được chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là $ 1,87m $ và khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng là $ 20cm $. Ước tính độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Chọn hệ trục tọa độ $ Oxy $ sao cho vị trí chân trụ cầu trùng với gốc tọa độ $ O $, trục $ Ox $ nằm trên đường nối hai chân trụ, $ A $ là chân trụ thứ hai và $ H $ là trung điểm $ OA $(đơn vị trên các trục tính theo đơn vị mét) Đồ thị hàm số bậc hai $ y=ax ^ { 2 } +bx+c $ đi qua gốc tọa độ $ O $ nên $ c=0 $ Từ giả thiết, ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm $ A\left ( { 43;0 } \right ),B\left ( { 0,2;1,87 } \right ) $ Thay tọa độ các điểm trên vào hàm số, ta được và hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 43 ^ { 2 } .a+43.b=0 \\ 0,2 ^ { 2 } .a+0,2.b=1,87 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 187 } { 856 } \\ b=\frac { 8041 } { 856 } \end{array} \right. $ Suy ra hàm số $ y=-\frac { 187 } { 856 }x ^ { 2 } +\frac { 8041 } { 856 }x $. Hình chiếu của đỉnh $ S $ trên trục hoành là $ H $ nên $ y_{ S } =f\left ( { x_{ S } } \right )=f\left ( { x_{ H } } \right )=f\left ( { \frac { x_{ A } } { 2 } } \right )=f\left ( { \frac { 43 } { 2 } } \right )≈100,98 $ Từ đó, độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường là khoảng $ 101m. $