Một nhà hát có sức chứa 800 người. Với giá vé 40 nghìn đồng trung bình sẽ có 300 người đến nhà hát mỗi ngày. Để tăng doanh thu, nhà hát đã khảo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 nghìn đồng sẽ có thêm 100 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Gọi $ A $ (nghìn đồng) là giá vé để doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát là lớn nhất. Tính giá trị biểu thức $ A ^ { 2 } +2025 $.

Gọi giá vé bán của nhà hát là $ x $ (nghìn đồng) ($ 0 < x < 40 $). Khi đó số tiền giảm giá vé so với giá cũ 40 nghìn đồng là $ \left ( { 40-x } \right ) $ nghìn đồng. Số người đến rạp tăng thêm mỗi ngày: $ \frac { 40-x } { 10 }.\,100=10\left ( { 40-x } \right )=400-10x $. Số người đến rạp xem phim mỗi ngày: $ 300+400-10x=700-10x $. Doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát bằng $ f\left ( { x } \right )=x\left ( { 700-10x } \right )=-10x ^ { 2 } +700x $. Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại $ x=-\frac { b } { 2a }=-\frac { 700 } { 2.\left ( { -10 } \right ) }=35 $. Do đó để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất thì giá vé của nhà hát là $ A=35 $ (nghìn đồng). Giá trị biểu thức $ A ^ { 2 } +2025=35 ^ { 2 } +2025=3250 $.