Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 9
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $M(1;1;1)$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi qua $AM$ và cắt các tia $Oy,Oz$ tại $B,C$. Tìm diện tích nhỏ nhất của tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $b,c>0$. Vì $(P):x/2+y/b+z/c=1$ đi qua $M$, ta có $1/b+1/c=1/2$, nên $bc\ge16$. Mặt khác
$S_{ABC}=\dfrac12\sqrt{b^2c^2+4b^2+4c^2}\ge\dfrac12\sqrt{b^2c^2+8bc}\ge4\sqrt6$.
Dấu bằng khi $b=c=4$. Vậy $S_{ABC,\min}=4\sqrt6$.
$S_{ABC}=\dfrac12\sqrt{b^2c^2+4b^2+4c^2}\ge\dfrac12\sqrt{b^2c^2+8bc}\ge4\sqrt6$.
Dấu bằng khi $b=c=4$. Vậy $S_{ABC,\min}=4\sqrt6$.