Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 21

a)

Nhận xét: Đồ thị hàm số $ y=\sqrt[] { x } $ nằm phía trên đồ thị hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } } { 8 } $ so với trục hoành, với $ x\in [0;4] $.
Diện tích cần tính là
$ S=\int _{ 0 }^{ 4 } { \left | { \sqrt[] { x }-\frac { x ^ { 2 } } { 8 } } \right | }dx=\int _{ 0 }^{ 4 } { \left ( { \sqrt[] { x }-\frac { x ^ { 2 } } { 8 } } \right ) }dx=\left | { \left ( { \frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } -\frac { x ^ { 3 } } { 24 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }=\frac { 8 } { 3 }. $
b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y=\sqrt[] { x },y=0,x=0,x=4 $ quanh trục $ Ox $ là $ V_{ 1 } =\pi \int _{ 0 }^{ 4 } { (\sqrt[] { x }) ^ { 2 } }dx=\pi \int _{ 0 }^{ 4 } { x }dx=8\pi $
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y=\frac { x ^ { 2 } } { 8 },y=0,x=0,x=4 $ quanh trục $ Ox $ là $ V_{ 2 } =\pi \int _{ 0 }^{ 4 } { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 8 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\pi \int _{ 0 }^{ 4 } { \frac { x ^ { 4 } } { 64 } }dx=\left | { \pi \frac { x ^ { 5 } } { 320 } } \right ._{ 0 } ^{ 4 }=\frac { 16\pi } { 5 } $
Thể tích cần tính là $ V=V_{ 1 } -V_{ 2 } =\frac { 24\pi } { 5 } $